圆的切线性质：三个最常考的定理

什么是切线？

直线与圆只有一个公共点时，称这条直线为圆的切线，这个公共点叫切点。

定理一：切线垂直于过切点的半径

$\text{切线} \perp \text{过切点的半径}$

直观理解： 如果切线不与半径垂直，那就会再多切一个点，就变成割线了。

常见用法： 已知切点坐标和圆心，求切线方程；或者用此条件证明某条线是切线。

考试陷阱： 题目说"过切点的切线"——别忘了，这条切线必须和连接圆心与切点的线段成直角。

定理二：切线长定理

从圆外一点向圆作两条切线，则两条切线的长相等，且该点与圆心的连线平分两切线的夹角。

设圆外一点 $P$，切点分别为 $A$、$B$，圆心为 $O$：

$PA = PB$

$\angle OPA = \angle OPB$

例题： 如图，$PA$、$PB$ 分别切圆 $O$ 于点 $A$、$B$，$PA = 6\text{ cm}$，$\angle APB = 60°$，求 $AB$ 的长。

解：

由切线长定理，$PA = PB = 6$ cm，$\angle APB = 60°$，所以 $\triangle APB$ 是等边三角形。

$AB = PA = 6 \text{ cm}$

定理三：切割线定理（相交弦/切割线）

从圆外一点 $P$ 引切线 $PA$（切点 $A$）和割线 $PBC$（$B$、$C$ 是交点），则：

$PA^2 = PB \cdot PC$

直观记忆： "切线的平方 = 割线外段 × 整条割线"

例题： $PA = 6$，$PB = 3$，求 $PC$。

$PA^2 = PB \cdot PC \implies 36 = 3 \cdot PC \implies PC = 12$

三个定理的对比总结

真题演练

（某市月考题） 已知圆 $O$ 的半径为 $5$，$PA$、$PB$ 为圆 $O$ 的两条切线，切点分别为 $A$、$B$，$OP = 13$。

1. 求 $PA$ 的长。
2. 求 $\sin\angle APO$ 的值。

解：

因为 $PA$ 是切线，所以 $OA \perp PA$，$\angle OAP = 90°$。

在直角三角形 $OAP$ 中：

$PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$

$\sin\angle APO = \frac{OA}{OP} = \frac{5}{13}$

辅助线思路

遇到切线题，几乎永远需要画的辅助线：

1. 连接圆心和切点 → 得到直角
2. 连接圆心和圆外点 → 得到对称轴（当有两条切线时）
3. 连接两个切点 → 得到等腰三角形或等边三角形

养成这个习惯，切线题的难度会下降至少一半。

练习题

1. 已知 $PA$、$PB$ 切圆 $O$ 于 $A$、$B$，$\angle APB = 80°$，求 $\angle AOB$。
2. 从圆外一点 $P$ 引切线 $PA = 8$，割线经过圆心，且圆的半径为 $r$。用 $r$ 表示 $PO$。